Jelek

Ne keseredjen el, ha a neten látható 8÷2(2+2) feladatra nem 16-ot kapott eredményül! Mondjuk, ha 3 vagy 5 jött ki, akkor azért tarthat önvizsgálatot, és penitenciaként kiróhat magára 3 vagy 5 óra ismétlést az általános iskolai anyagból, de a feladat szándékosan úgy van felírva, hogy megtévesztő legyen. Ha a „rizsát” át akarja ugrani, akkor léphet az utolsó bekezdéshez, de ha van 3 perce, akár végig is olvashatja.

alt

 

Mottó: „Bizonyos szint fölött nem süllyednék bizonyos szint alá.” (Eszterházy Péter matematikus, mellékesen író, még mellékesebben egy futballista bátyja)

Kezdjük! Sok matematikus szokta mondani, hogy a matematika nyelvén ezt így és így fejezzük ki. Igazuk lehet. Ha olyan mélységeibe jut valaki a matematikának, hogy annak saját jelölésrendszerét, megállapodásait és elveit használja csak, akkor tud szinte matematikai kifejezésekben kommunikálni egy másik matematikussal. Ez a matematika számukra érthető és követhető. Ugyanakkor mihelyst ezt a matematikát közölni kell, ismertetni kell, azt egy nyelvbe ágyazva tudja megtenni. Vannak, akik el tudják szakítani a matematikát az anyanyelvüktől, de a matematika oktatása során ez biztosan nem megvalósítható. Ezen a szinten kérdéses, hogy a nyelvbe van beágyazva az adott matematika, azaz a nyelvnek van matematika szaknyelvi része, vagy a matematikának van megnyilvánulása az adott nyelven. Fennköltebben fogalmazva, a matematikai reprezentáció az elsődleges, vagy az általános kulturális reprezentáció. Nem tudom eldönteni a kérdést, de vannak mindkét oldalnak olyan pártolói, akik készek lándzsát vagy bármit törni az egyik illetve a másik állítás mellett, vagy esetleg a vitapartner fején. Azt, hogy maga a nyelv nem egyértelmű és ezért nem nyelvet, hanem kultúrát tanítanak és tanulunk, könnyű néhány példán bemutatni.

Egyik kollégám példája szerint, ha azt hallom, hogy „... június 9-én reggel túl volt a 200 vegyesen.” akkor, ha ez a sporthírekben volt, gondolhatok Hosszú Katinkára, aki ekkorra már leúszta a 200 méteres vegyesúszás előfutamát, de ha ez a kijelentés egy másik szövegkörnyezetben hangzik el, akkor lehet Józsi bácsi, aki ekkorra már 200 vegyespálinkát gurított le a helyi kocsmában.

Ha a pszihológusának azt mondja a matematikus, hogy jó a problémamegoldó képessége, akkor a pszichológus nem arra fog gondolni, hogy remekül tud differenciálegyenleteket felállítani és megoldani. A rövidre szabott nyelvi bevezető után térjünk rá a műveletek még rövidebb áttekintésére.

• Első osztályban kezdjük, az összeadással. Nem véletlenül. Ez a legegyszerűbben érthető, és a jele is mindenki számára ismert és egyértelmű, egy + jel. Tehát ha leírjuk hogy 2 + 3, akkor mindenki hozzád 2-höz 3-at és reményeink szerint az eredmény 5 lesz. Szerencsére ez egy „felcserélhető” (kommutatív) művelet azaz 2 + 3 = 3 + 2.

• A kivonással már egy picit macerásabb a helyzet, de még mindig boldogulunk vele. Szokták egyszerűen a rövid kiskötőjellel (-) jelölni, de aki igényesebb az előkeresi a táblázatból a nála hosszabb úgynevezett kötőjelet (–) és aki még precízebb, az a mínusz vagy kivonás jelet (−) használja. Látják, nem egyformák, de hasonlítanak egymásra (-, –, −). Ajjaj! Ráadásul a művelet nem felcserélhető! 2 − 3 6= 3 − 2. Most akkor mínusz vagy kivonás vagy negatív? Melyik legyen? A magyarban a negatív szónak sokféle értelmezése van. Ne légy negatív, stb., de most hagyjuk a szóelemzést, és térjünk vissza a matematikai jelekhez, jelölésekhez. Egy számról szoktuk mondani, hogy annak előjele negatív, és az értéke mínusz 5, illetve két szám közötti műveletről mondjuk, hogy kivonás, amit viszont úgy olvasunk ki, hogy nyolcból három, vagy nyolc mínusz három. Ugye már nem is olyan egyszerű? Nem csoda, hogy sokan keverik, vegyesen használják, és azt mondják, hogy a szám előjele mínusz vagy ez egy mínusz szám. A mindennapi életben legfeljebb stílustörő de értelmileg 1 nem zavaró, ha valaki a matematikai értelemben egyébként helyesen használja a kifejezéseket. Nem bonyolódok bele olyan történeti kihívásokba, hogy léteznek-e negatív számok, de megjegyzem, hogy az egyik legrégebbi fennmaradt említésük a mintegy 2000 évvel ezelőtti Kínából származik. Sokféleképpen lehet szemléltetni a negatív számokat, és a velük végzett műveleteket. Maguk a negatív számok szemléltethetők az adósságmodellell, de ha belemegyünk ebbe, akkor a műveletekkel meg fog gyűlni a bajunk. Sajnos Magyarországon ez egy nagyon elterjedt modell, pedig sokkal barátságosabb bevezetést tesz lehetővé az előre-hátra lépkedés, vagy az előremegyünk-tolatunk, amelyek mindegyike az ellentett fogalmára épül. Ugyanakkor minden modell hasznos és hatásos lehet, és egy adott szituációban az a legjobb, amelyiket a tanár értve és megértetve tud átadni a gyerekeknek.

• A szorzás szerencsére megint egy felcserélhető művelet. 5 · 3 = 3 × 5. Bocsánat, de itt rögtön használtam a két elterjedt és egyenértékű jelölést. Mindegy, hogy szorzópontot vagy szorzókeresztet használunk, az szorzást jelent. Persze Magyarországon szeretünk szorzópontot használni az iskolában és szinte minden tankönyvben ez szerepel. (A szorzókereszt nálunk sokszor csak méreteket jelöl, 2 m × 3 m.) Ha kinézünk a világba, akkor ott már gyakran csak szorzókeresztet látunk. Vannak olyan esetek, amikor kicsit kevésbé igényes a szerző a tipográfiai jelekre, és csak gyorsan túl akar esni egy jelölésen. Azt is megérti mindenki, ha azt írjuk 5*3 vagy 5x3, holott egy csillagot vagy egy kis x betűt írtunk le. Matematikailag igényes folyóiratokban ilyen nem fordul elő, de a köznapi életben igen sokszor, azaz a hétköznapi jelölés és a szabványos vagy szabályos jelölés, csakúgy mint a kivonás esetén, elválik egymástól.

Ráadásul itt van a matematikusok közismert „lustasága”. Ha valamit sokszor kell leírni és meg lehetne spórolni, akkor azt gyakran megteszik. Ezért a szorzás jelét gyakran elhagyjuk. Ez nem zavaró, ha egy számról és egy változóról vagy két változóról van szó, 2c = 2 · c vagy bc = b · c. Ilyen esetben szokták a változó szorzóját találó magyar szóval együtthatónak hívni. Két szám közül általában nem lehet elhagyni a szorzás jelét! Nem mindegy, hogy 69 vagy 6 · 9. Ez alól lehet kivétel a zárójel, amelyik módosítja a műveletvégzés sorrendjét, de ilyenkor sem szerencsés lespórolni a szorzásjelet, azaz 2(2 + 2) = 2 · (2 + 2) = 2 · 4 = 8.

• Elérkeztünk az osztáshoz, és nem akarom alsóban kezdeni, de sokan képesek ölni, vagy annak szinonímájaként egyest adni azért, hogy megkülönböztessék az osztást és a bennfoglalást. Leegyszerűsítve az egyik a 8 : 2 = 4, a másik a 8 : 4 = 2. Később, ha műveletről lesz szó, mindig osztani fogunk. Rögtön be is vezettük a nálunk általánosan használt jelölést, és itt a másik, amelyet sokan nem szeretnek, de létezik, 8/4 = 2. Vannak olyanok akik azt mondják, hogy ezt csak a 8 4 = 2 helyett lehet írni, mert ez nem művelet, hanem egy tört, de számként nem jelent zavart, hiszen az értéke mindenképpen 2.

 Ugyanakkor ha egy másik országba megyünk, például Amerikába, akkor ott a 8 : 2 kifejezést elsősorban nem műveletnek, hanem aránynak tekintik. A művelet jele náluk gyakran a 8 ÷ 4 = 2. Ezt a jelölést mi nem használjuk, de ha nyitott szellemiségű gyerekeket akarunk nevelni, akkor bizony el kell fogadni, hogy vannak akik tizdespontot használnak, vannak, akik ha azt mondják 1 billion azt milliárdnak értik, és ha azt mondják "whole number", akkor kultúrkörnyezettől függ, hogy az összes egész számot vagy csak a természetes számokat értik alatta. Azaz a kultúra és a lokális nyelv ismerete elengedhetetlen az adott környezetben. Hasonlóan hitéleti kérdés, hogy a 0 természetes szám-e. Tisztázzunk valamit. A matematikában, és ennek megfelelően a közoktatásban igen. Semmilyen logikai problémát nem okoz azonban, ha külön esetként kezelik, mint ahogy vannak országok, ahol ezt meg is teszik.

Tehát nem arról van szó, hogy a matematikában mi egyértelmű és mi nem. A matematikai szaklapok egyértelműek, azokban általában a ":" vagy a "/" jel szerepel osztásként, és minden matematikus le tudja írni az általa használt kifejezést olyan módon, hogy az mindenkinek egyértelmű legyen. Egyik kollégám annyival intézte el a dolgot, hogy ő ugyan fel nem írná ezt a táblára, mert tudja, hogy zavart okozhat. Helyette egyértelmű, ha átírjuk: 8 ÷ 2(2 + 2) 8 : 2 · (2 + 2)

Másik kollégám annyit tett hozzá, hogy egy valamirevaló szerkesztő azonnal visszadobja azt a cikket, amelyikben leírva lát egy ilyen kifejezést.

alt

Tanulság: Ha egyértelműen is ki tudjuk fejezni magunkat, tegyünk úgy! (Egyértelműség)

Ne akarjuk rákényszeríteni a magunk igazát másokra, próbáljuk megérteni őket! (Empátia)

Ne fogadjunk el mindent kritika nélkül, csak azért, mert azt írta az újság! (Forráskritika)

Dr. Wintsche Gergely

matematikus, matematikatanár, szerkesztő

 

Csatolmány(ok)